上次提到了强对偶定理，说的是一对线性规划问题的两个最优解其最优值一定是相等的。而这两个最优解之间除了各自的函数值相等，他俩之间还有一个有趣的关系，所谓的——对偶松弛。

啥是对偶松弛？首先看以看成是一个判断最优解的一个条件，比如我们有了一对可行解，然后试试两者是否满足这个关系，如果满足的话那么这对解就是最优解了。反过来也是可以的，如果已经知道两个解是各自的最优解，那么一定满足这个关系。

对偶松弛定理是的证明尽管不是很复杂，但是我们这里并不讨论，随便找个课本上都有，咱们这里只是观察一个例子，然后咱来理解一下对偶松弛这四个字的直观含义。

还是看上次的例子，吃货及店老板的一对对偶问题，这里把这对问题列一下：

原问题：

min            5*x₁ + 8*x₂    

subject to    3*x₁ >= 6      

                  2x₁ + 4x₂ >= 10

                  2x₁ + 5x₂ >= 8

　　　　　　 x_1, x₂ >= 0    

对偶问题：

max          6*p₁ + 10*p₂ + 8*p₃     

subject to  3*p₁ + 2*p₂ + 2*p₃ <= 5   

                           4*p₂ + 5*p₃ <= 8

                            p₁ , p_2 , p₃ >= 0

这次需要把最优解求出来，分别是：

 x₁ = 2_, x₂ = 3/2 和  p₁= 1/3 , p₂=2 _, p₃ = 0。最优值都是22。

OK，现在咱们就来看一下对偶松弛在哪里。首先要明确一个概念，就是对偶问题的一个变量对应着原问题的一个约束。比如这里原问题有三个约束，对偶问题相应的就有三个变量。

比如对于原问题有（对于对偶问题同理）：

3*x₁ >= 6             和  p₁  对应；

2x₁ + 4x₂ >= 10    和  p₂  对应；

2x₁ + 5x₂ >= 8     和  p₃  对应；

稍微整理一下：

3*x₁ -6           >= 0    和  p₁  >= 0 对应；

2x₁ + 4x₂ - 10 >= 0    和  p₂  >= 0 对应；

2x₁ + 5x₂ -  8  >= 0    和  p₃  >= 0 对应；

 然后我们把各自的最优值代入（x₁ = 2_, x₂ = 3/2 和  p₁= 1/3 , p₂=2 _, p₃ = 0），就可以看到所谓的对偶松弛了：

3*2 - 6                = 0   和   p₁= 1/3  > 0

2*2 + 4*3/2 - 10  = 0   和   p₂= 2     > 0

2*2 + 5*3/2 - 8    > 0   和   p₃            = 0

我们可以看到，如果左边的代表约束的式子等于0，那么其对偶的变量值就大于0；而如果式子大于0，则后面的变量就等于0。也就是说每对数值一定有一个是等于0的。

所以说我们可以把对偶松弛这样理解，每个对偶约束和变量，如果一个是松的（大于0），那么其对偶一定是紧的（等于0）.

是不是特别像跷跷板，一个起来另外一个一定下去。或者像拉锯，一边拉远另外一边就被拉近。这种自然中的无处不在的平衡的确有些奇妙。